28.07.2016, 17:51 Uhr

Das klassische Paradoxon von Zenon

Achill und die Schildkröte – Paradoxon von Zenon (von Elea)
Dieses von Zenon von Elea aufgestellte Problem stellt ein klassisches Paradoxon dar. Das Paradoxon ist nicht direkt überliefert, sondern findet sich bei Aristoteles.
Das Paradoxon: Zenon behauptet, dass Achill eine Schildkröte bis in alle Ewigkeit nicht einholen können werde, wenn die Schildkröte einen gewissen Vorsprung habe, Achill mit einem Vielfachen der Geschwindigkeit der Schildkröte laufe und die beiden geichzeitig zu laufen beginnen.
Tatsächlich wird aber ein Schnellerer einen Langsameren immer einholen, sofern er dafür genügend Zeit hat. Diese ist direkt proportional zum Vorsprung („je mehr Vorsprung, desto mehr Zeit wird benötigt“) und umgekehrt proportional zur Ge-schwindigkeitsdifferenz der beiden Läufer („je größer die Geschwindigkeitsdifferenz, desto weniger Zeit wird benötigt“).

Der Einholpunkt kann sich nur aus dem Gleihsetzen der beiden linearen Gleichungen gSchnecke = v1.t + ∆s und gAchill = v2.t ergeben, also aus:
WegAchill = WegSchildkröte
v2.t = v1.t + ∆s
(Der Leser möge beide Funktionsgraphen selbst zeichnen, um die graphische Lösung als Schnittpunkt der beiden Geraden zu ermitteln!)
Bei zehnfacher Geschwindigkeit v2 = 10x und einem Vorsprung von 100 m ergibt sich demnach:
10x.t = x.t + 100
Daraus folgt für x.t = s = 11,11… m (s =v.t!), das ist genau die Wegstrecke, die die Schild-kröte zurückgelegt hat. Der gesamte Weg be-trägt daher:
100 m + 11,11... m = 111,11.. m

Zenons Trugschluss beruht auf zwei Fehlern:
1. Er berücksichtigte nicht, dass die Summe der Glieder einer unendlichen geometrischen Reihe für q
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